复变函数与积分变换

马上就要考试了，悲

复数与复变函数

复数的三种形式

复数的一般形式 $Z=x+yi$
复数的三角表示 $Z=r(\cos\theta+j\sin\theta)$
复数的指数形式 $Z=re^{i\theta}$

复数的主值与辐值

$$ArgZ = argZ + 2k\pi$$
其中 $0 \leq argZ<2\pi$

主值的求解公式

棣莫弗公式 ★

$$Z^n=[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=r^n(\cos{n\theta}+\sin{n\theta})=re^{in\theta}$$
当r=1时，有
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos{n\theta}+\sin{n\theta}$$
逆运用
$$w=r^{\frac{1}{n}}[\cos(\frac{1}{n}(\theta+2k\pi))+i\sin(\frac{1}{n}(\theta+2k\pi))]$$

其中$k=0,1,2,…,n-1$
$r=|Z|$

练习

共轭复数

$ReZ=\frac{Z+\overline{Z}}{2}$
$ImZ=\frac{Z-\overline{Z}}{2i}$

解析函数

解析函数：概念性质、充分/必要条件、调和函数、初等函数

解析概念：

$w=f(Z)$如果在$Z_{0}$及其领域内处处可导，则$f(Z)$在$Z_{0}$处解析
解析->可导->连续
反之不行

函数解析的充要条件（柯西-黎曼方程）

C-R方程
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$z=x+iy$处处可导的充要条件是$u(x,y)$，$v(x,y)$在点$(x,y)$处可微
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}且\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

调和函数

调和函数和解析函数针对的对象不同
解析函数针对$f(Z)$
调和函数针对$u(x,y)与v(x,y)$

拉普拉斯方程（Laplace）

$$
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial^{2}x}+ \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial^{2}y}=0
$$
解析函数的实部和虚部是调和函数

初等函数

指数函数

$$e^{Z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos x +i\sin y)$$
指数函数性质有：

$ |e^{Z}|=e^{x}$
$Arg(e^{Z})=y+2k\pi$
$e^{Z+i2k\pi}=e^{Z}，即e^{Z}是以2k\pi 为周期的周期函数$
$(e^{Z})’=e^{Z}$

对数函数

$LnZ=lnZ+i2k\pi=ln|Z|+iargZ+i2k\pi$

幂函数

$a^{b}=e^{(Lna)b}$

三角函数

反三角函数

练习

复变函数的积分

定义及如何积分

定义在简单光滑或分段光滑上的有向曲线上的积分
$$f(Z)=u(x,y)+iv(x,y)$$
$$f_{c}(Z)dZ$$
如何积分？两种方法

第二型曲线积分
$$\int_{c}(Z)dZ=\int_{c}u(x,y)+iv(x,y)dZ=\int_{c}udx-vdy+i\int_{c}vdx+udy$$
参数法
$$\int_{c}(Z)dZ=\int^{\beta}_{\alpha}f(Z(t))Z’(t)dt$$

柯西-古萨定理

$$\oint_{c}f(Z)dZ=0$$
$f(Z)$在C上及D内解析则成立

复合闭路定理

推导

$f(Z)$在$\Gamma$上解析，
且$\Gamma=C+C^{-}{1}+C^{-}{2}$+…，
则$\oint_{\Gamma}f(Z)dZ=0$，
代入$\Gamma =C+C^{-}{1}+C^{-}{2}$+…
则$\oint_{C+C^{-}{1}+C^{-}{2}+…}f(Z)dZ=0$ 化简移项可得

$$\oint_{c}f(Z)dZ= \sum_{n=1}^n\oint_{C_{k}}f(Z)dZ$$
当k=1时，则得

$$\oint_{c}f(Z)dZ= \oint_{k}f(Z)dZ$$